23 marzo 2007

La biblioteca de Borges y los números normales

Borges fue capaz de concebir en su imaginación una biblioteca de inconmensurables proporciones que contenía todos los posibles libros que podían ser escritos. Es curioso cómo una idea tan sencilla de expresar, puede contener en sí misma tanta y tanta complejidad.

Así pues, cualquier libro escrito o no escrito se encontraría en dicha biblioteca. Desde libros sin sentido, hasta las más maravillosas composiciones literarias imaginables. Y. cómo no, seguro que en la biblioteca de Babel se encuentra un libro en que se explica detalladamente toda nuestra vida, desde el nacimiento hasta el óbito. Lo que muchos darían por poder leer el libro de su vida…

Pero por sorprendente que pueda parecer, la biblioteca de Babel “existe”. Y lo pongo entre comillas porque existe en un cierto sentido. Pero para ver dónde se encuentra nuestra particular biblioteca borgiana, debemos hablar antes un poco de matemáticas.

Existen ciertos números, denominados normales cuyas extensiones decimales, periódicas o no, presentan la misma proporción de dígitos. Veamos qué quiere decir esto. El número 0,1234567801234567890… es un número periódico (por lo tanto, con una extensión decimal infinita) que, en base 10, es normal, ya que encontramos tantos ceros, como unos, como doses, etc.

Avancemos un poco en el concepto. Lo que necesitamos es un número normal que no sea periódico y que sea normal en cualquier base de numeración. Hay infinitos números normales de esas características, aunque se ignora si algunos de los números irracionales más “conocidos”, como e, pi o la raíz cuadrada de dos son normales.

¿Qué implicaciones tiene que un número sea normal? Tomemos sus decimales en base 256 (podríamos hacerlo de muchas otras maneras, pero ésta nos simplificará las explicaciones). De esta manera, cada dígito corresponderá a un código ASCII, que son los códigos estándares con que funcionan los textos que podemos escribir con la mayoría de los ordenadores.

Bien, ahora es cuando entra la potencia de “numero normal no periódico” en funcionamiento. Cualquier número de estas características puede contener cualquier secuencia, arbitrariamente larga de signos. Cualquiera. ¿Os suena? Es lo mismo que la biblioteca de Babel. Si traducimos los dígitos en base 256 a códigos ASCII, podremos encontrar cualquier texto dentro de un número normal: la Biblia, el “mi mamá me mima” o el libro en que se describe nuestra vida.

Y para mayor vértigo mental, hay infinitos números de este tipo, es decir, infinitas bibliotecas Babel…

1 Comments:

At 8:58 a. m., Blogger odo said...

¡Interesante relación! Pese a que la Matemática es tema común en Borges, no se me había ocurrido hacer esa conexión.

Para mayor vértigo mental aún, no sólo hay infinitos números normales, sino que su cantidad es infinita no numerable (aunque de medida cero, creo). Es decir, son "más infinitos" que los números naturales.

Así que los números reales nos proporcionan un "backup" infinito no numerable de la biblioteca de Babel :) Lo malo es que, al igual que es casi imposible saber qué libro de la biblioteca de Borges dice la verdad y cuál miente, es muy difícil saber cuándo un número es normal y cuando no :(

 

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